二項分布の正規近似( ..)φメモメモ

皆様、こんにちは。

今回は、統計について、小文を書きます。

二項分布を正規近似する手法です

二項分布の確率の計算はｎが大きいときは非常に面倒なものになります。

ex).　合格率30％の試験を100,000人が受験したとして、無作為に抽出した200人の内、60人以上が合格する確率。

計算式は、

B(200,0.3)

1-(Σn=0~60ｐ（n）)となります。

これを計算すると、
ｐ（0）= 200 C 0* 0.3^0 * 0.7^200
　　　　　≒1.046183829E-31
　　　　　　　………
ｐ（60）= 200 C 60* 0.3^60 * 0.7^140
　　　　　　≒0.0615　
ｐ（0）+……ｐ（60）＝0.5348

1-0.5348＝0.4652　つまり約46％です。

https://keisan.casio.jp/exec/system/1161228843 　👆画像

カシオ　生活や実務に役立つ計算サイト様より　

これはかなり煩雑な計算です。かなりうざいです。

手計算は不可です(´；ω；`)ｳｯ…

とゆーより、電卓でも無理ゲーです( ﾉД`)ｼｸｼｸ…

しかし、pが0あるいは１に極めて近い値で無いならば（もしそうならポアソン分布による近似が可能である）、ｎが大きいときに正規分布を二項分布の良い近似として用いることが出来ます。

ｘが二項分布に従うとき、

ｘの平均はnp、

分散はnpq(ここでq=1-p)となります。

二項分布B(n,p)を正規分布で近似するとき、

同じ平均と分散を持つ　正規分布　N(np,(√npq)^2)を用いるのが自然です。

この場合は、

N（np = 200*0.3 = 60, (√npq)^2 = （√42）^2))

N（60,(（√42）^2)

ですね。(^_-)-☆

60以上の値の出る確率とか考えるよりも、59.5以上の値の出る確率と考えた方が良いので、連続修正し、

（59.5-60）/√42　≒　-0.077

標準正規分布Ｎ（0,1）の上側確率表から、0.07＝0.4721となり、約47％と近似出来ました。

素晴らしい。二項分布のとても煩雑な計算が、一つの式で近似できました。パチパチ👏

この様に、正規近似はかなり正確であり、ｐの値を変えずにｎを大きくするとき、二項分布は正規分布に近づいていく（正確には（ｘ-ｎｐ）/√ｎｐｑの分布が標準正規分布Ｎ（0，1）に近づく）ことが証明されています。

これをうまく使うときは、ｎｐ＞5　かつ　ｎｐｑ＞5が成り立つときとするのが、１つの有力な考え方と言われています。('ω')ノ

こんな風に、出来る事なら

確率統計を活かして、人生を豊かにしたいものですね。

では、ばいちゃ。

以下、近日発売のヨビノリ先生の本です。

発売されたら、買おうっと(*^-^*)